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Os três grandes problemas da matemática
Antes de falarmos sobre os 3 grandes problemas da matemática, é importante conhecer o significado da expressão “régua e compasso”.
Em sua obra Elementos, Euclides fala de “construir um segmento”, prolongar um segmento” e “construir uma circunferência”. Apesar de não mencionar a régua e o compasso, fica claro o uso desses instrumentos pelas regras estabelecidas por ele:
- A régua só pode ser usada para, dados dois pontos A e B, construir um segmento, tão longo quanto se queira, que contenha aqueles dois pontos;
- O compasso só pode ser usado para, dados dois pontos A e B, construir a circunferência de centro A e que passa por B.
Por isso, as construções com régua e compasso são chamadas de construções euclidianas. Elas são baseadas nos 3 primeiros postulados de Euclides:
- desenhar uma linha reta de um ponto à outro ponto;
- produzir uma linha reta finita continuamente em outra linha reta;
- escrever um círculo dado qualquer centro e qualquer raio.
Algumas construções com régua e compasso:
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Os 3 grandes problemas da matemática, quadratura do círculo, duplicação do cubo e trissecção do ângulo, devem ser resolvidos usando-se apenas régua e compasso.
Quadratura do círculo
Por mais de dois mil anos, matemáticos de várias partes do mundo tentaram resolver o problema da quadratura do círculo. Quadrar o círculo significa construir, com o auxílio de régua e compasso (instrumento dos deuses), um quadrado que tenha exatamente a mesma área do círculo. Hoje em dia, quando se fala na impossibilidade de resolver este problema, trata-se da impossibilidade relativa de usar esses dois instrumentos (régua e compasso).
Desde os tempos de Pitágoras, há tentativas de resolver o problema da quadratura do círculo. Arquimedes foi o primeiro a se dar conta de que a dificuldade estava em definir a área de uma superfície delimitada por uma curva. Usando o hoje conhecido “método da exaustão”, uma série de polígonos inscritos e polígonos circunscritos ao círculo, que o valor de pi estava entre 3,14084507 3,142857143.
No Papiro Rhind (Ahmes) é dada uma solução para se construir um quadrado de área próxima a de um círculo. Para tanto, o lado do quadrado deveria ser 8/9 do diâmetro do círculo. Esta aproximação corresponde a tomar 3,1605 como valor para pi, logo, não é uma construção geométrica precisa.
Contudo, por mais aproximações que se façam, não é possível quadrar exatamente o círculo (com régua e compasso). Em 1882, o matemático alemão Carl Louis Ferdinand von Lindemann provou que pi é um número transcendente, ou seja, não é raiz de qualquer equação algébrica com coeficientes inteiros. Assim, a transcendência de pi torna impossível de se resolver o problema da quadratura do círculo somente com uma régua e um compasso.
Duplicação do cubo
No século V a.C., uma epidemia de peste dizimou uma quarta parte da população de Atenas. Conta-se que os atenienses teriam enviado uma delegação ao oráculo de Apolo, na cidade de Delfos, para perguntar como poderiam combater o mal. Os integrantes da delegação teriam recebido como resposta que, para a peste acabar, o altar de Apolo deveria ser duplicado. Para cumprir a ordem, os habitantes de Atenas dobraram os lados do altar, mas a peste tornou-se muito mais violenta. Por dobrarem as arestas do cubo, o altar teve o seu volume multiplicado por oito e não por dois.
A duplicação do cubo consiste em construir, com régua e compasso, a aresta do cubo cujo volume é o dobro do cubo inicial. Alguns nomes se destacam na tentativa de solucionar o problema, entre eles Hipócrates de Chios e Arquitas de Tarento. Porém, todas as soluções eram teóricas.
No século XIX, foi estabelecida a impossibilidade da construção usando apenas régua e compasso.
Trissecção do ângulo
Esse problema consiste em dividir um ângulo em três partes iguais. Ou seja, a partir de um ângulo qualquer, construir um outro com o terço da sua amplitude. Diferente dos outros dois grandes problemas da matemática, não há referência de quando a trissecção do ângulo começou a ser estudada.
Algumas soluções foram produzidas, mas nenhuma delas usando a regra básica (usar régua e compasso).
Em 1837, Pierre Laurent Wantzel mostrou que é impossível resolver esse problema como ele foi proposto.
Fontes:
http://super.abril.com.br/superarquivo/1989/conteudo_111717.shtml
http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/quadr_circulo.html
http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/duplica-cubo.html
http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/trissec_angulo.html
http://www.fc.up.pt/mp/jcsantos/problemasclassicos.html
