Abra um livro sobre a teoria das probabilidades e certamente o primeiro exemplo será sobre o lançamento de uma moeda, mas será que realmente trata-se de um evento aleatório?

Segundo os livros, uma moeda honesta, tem ambos os lados (cara e coroa) com chances iguais de ocorrência, ou seja, jogo uma moeda e a probabilidade (chance) de sair cara é 50%, correto? Na verdade não.

Para quem já estudou um pouco de física, sabe que é possível utilizar as equações de movimento que descrevem o lançamento de um corpo sob a ação da aceleração da gravidade. Bom… pra quem não se lembra bem, segue a equação abaixo:

Onde é a altura final, é a altura inicial, é a velocidade inicial, é a aceleração da gravidade e o tempo.

Muito bem… Sabemos que no lançamento de uma moeda, além de ser lançada até um certa altura, ela também sofre um giro (velocidade angular),  pois podemos obter cara ou coroa… E se treinassemos, afim de sempre obtermos o mesmo lado da moeda? Seria possível? A Resposta é sim.

Lançando a moeda sempre com a mesma velocidade inicial, a mesma altura inicial ,  o mesmo tempo de movimento e a mesma velocidade angular, sempre obteremos a mesma altura final e portando sempre o mesmo lado da moeda.

Isso mostra que o exemplo de probabilidade mais clássico de todos os tempos é furado? De certa forma sim, na verdade, pouca gente se preocupa em se treinar afim de obter o sempre o mesmo lado de uma moeda (pouco útil, eu sei), no entanto o que torna esse exemplo um evento aleatório são as condições iniciais do problema, provavelmente você lançará a moeda com altura e velocidades inicial e angular diferentes, isso nos tranquiliza, pois afinal de contas, seria meio frustrante saber que o famoso 50% de chance cair cara ou coroa fosse babozeira, mas enfim, isso nos fazer refletir um pouco sobre como aprendemos as coisas e como aceitamos muitos conceitos sem nos questionar sobre suas validades.

Hora de continuar nossa viagem pelo mundo da história da matemática. O artigo de hoje vai falar sobre equações, destacando os matemáticos Niels Henril Abel, Évarist Galois, Bhaskara Akaria e François Viète.

O estudo das equações começa com os matemáticos tentando saber se uma equação de um dado tipo tinha ou não raiz por calculá-la. Porém, perceberam que algumas equações tinham várias raízes. Eis as questões levantadas: “Quantas raízes uma equação pode ter? Existirá um limite máximo? E um limite mínimo?”. A resposta a essas perguntas é o teorema fundamental da álgebra: “uma equação de grau n tem exatamente n raízes”. Levando a questão do cálculo efetivo das soluções (a solução por radicais), os matemáticos determinaram as fórmulas que proporcionavam as soluções para os quatro primeiros graus. Porém, tiveram de esperar três séculos até Henril Abel demonstrar que a equação geral de quinto grau não tinha solução por radicais. Depois Abel, assim como Évariste Galois, demonstraram que não apenas a equação de quinto grau, mas todas as de grau maior que cinco não tinham soluções por radicais. Em vez de considerar as raízes de uma equação cada qual em sua individualidade, Galois considerou-as em seu conjunto. Depois, estudou como esse conjunto se comportava quando era submetido a certas transformações, as substituições. Com esse trabalho, Galois abriu um novo campo para a matemática.

A partir de Galois, a álgebra não têm mais a mesma cara. Os objetos que ele criou (estruturas) se tornaram os novos atores da matemática e os procedimentos que ele empregou geraram uma nova maneira de fazer matemática. Tais estruturas não são objetos tomados em suas singularidades, mas em seu conjunto e ligados por laços que estruturam esses conjuntos. Como exemplo, temos a estrutura de grupo inventada por Galois que  se tornou o objeto-rei da álgebra do século XX. Definir a estrutura de um conjunto é ser capaz de dizer em quê, dois elementos que não são idênticos, são diferentes. Essa nova maneira de “enxergar” constitui o que foi chamado de matemática moderna.

Niels Henrik Abel

Niels Henrik Abel

Matemático norueguês, foi aluno de Holmboe. Era um aluno de inteligência notável. Seu professor escreveu “se viver, vai se tornar o melhor matemático do mundo”. Henrik Abel foi o primeiro a encontrar a solução da equação de quinto grau. Porém seu trabalho só foi reconhecido após sua morte (aos 27 anos), vítima de uma doença. Apesar de não ter vivido muito tempo, foi um dos melhores matemáticos do mundo. Porém, só em Paris suas descobertas foram reconhecidas, quando ele às registrou no Institut de France.

Évarist Galois

Apesar de sempre fazer o que não devia, de ter modos estranhos, péssimo comportamento, Galois era dominado por sua paixão pela matemática. Aos 18 anos, entregou no Institut de France um trabalho sobre as equações do primeiro grau que foi esquecido e extraviado. Seu segundo trabalho também foi esquecido e extraviado.

Évarist Galois

Galois pela terceira vez entregou seu trabalho do instituto. A dissertação foi examinada por Denis Poisson, porém, Poisson não entendia nada do trabalho. Assim, Galois pagou caro por estar adiantado em relação a seu tempo. Sua tragédia foi ter produzido demonstrações que provavam suas asserções e não ter encontrado ninguém capaz de compreendê-las.

Para completar sua vida azarada, apaixonou-se por uma única mulher que não correspondia à sua paixão. E, por motivos incompreensíveis, um de seus amigos republicanos, também apaixonado pela moça, desafiou-o para um duelo. Seu adversário, era um oficial habituado ao manejo das armas. Na noite que precedeu o duelo, Galois fez seu testamento matemático e no dia seguinte morreu.

Bhaskara Akaria

Famoso atualmente pela fórmula que leva o seu nome, Bhaskara Akaria nasceu em 1114. Tinha um gosto especial por cálculos com números grandes. Sendo que por tentativa, descobriu que o primeiro número que satisfaz a equação x² = 1 + 61y² é 1776319049 e o segundo 22615390.

François Viète

François Viète

François Viète é conhecido domo o Pai da Álgebra. Advogado francês, inteligente e de espírito vivo, era também apaixonado por Álgebra. A ele devem os passos mais decisivos para a introdução dos símbolos no mundo da matemática. Foi o primeiro a escrever as equações e a estudar suas propriedades através de expressões gerais. Foi graças a François Viète, que pela primeira vez na história da matemática, os objetos de estudo passaram a ser não problemas numéricos sobre os problemas do dia-a-dia, mas sim as próprias expressões algébricas. A partir desse momento, as equações passaram a ser interpretadas como as entendemos atualmente: equação, o idioma da álgebra.

Próximo artigo: Pierre Fermat

Antes de falarmos sobre os 3 grandes problemas da matemática, é importante conhecer o significado da expressão “régua e compasso”.

Em sua obra Elementos, Euclides fala de “construir um segmento”, prolongar um segmento” e “construir uma circunferência”. Apesar de não mencionar a régua e o compasso, fica claro o uso desses instrumentos pelas regras estabelecidas por ele:

• A régua só pode ser usada para, dados dois pontos A e B, construir um segmento, tão longo quanto se queira, que contenha aqueles dois pontos;
• O compasso só pode ser usado para, dados dois pontos A e B, construir a circunferência de centro A e que passa por B.

Por isso, as construções com régua e compasso são chamadas de construções euclidianas. Elas são baseadas nos 3 primeiros postulados de Euclides:

• desenhar uma linha reta de um ponto à outro ponto;
• produzir uma linha reta finita continuamente em outra linha reta;
• escrever um círculo dado qualquer centro e qualquer raio.

Algumas construções com régua e compasso:

Fonte

Os 3 grandes problemas da matemática, quadratura do círculo, duplicação do cubo e trissecção do ângulo, devem ser resolvidos usando-se apenas régua e compasso.

Quadratura do círculo

Por mais de dois mil anos, matemáticos de várias partes do mundo tentaram resolver o problema da quadratura do círculo. Quadrar o círculo significa construir, com o auxílio de régua e compasso (instrumento dos deuses), um quadrado que tenha exatamente a mesma área do círculo. Hoje em dia, quando se fala na impossibilidade de resolver este problema, trata-se da impossibilidade relativa de usar esses dois instrumentos (régua e compasso).

Desde os tempos de Pitágoras, há tentativas de resolver o problema da quadratura do círculo. Arquimedes foi o primeiro a se dar conta de que a dificuldade estava em definir a área de uma superfície delimitada por uma curva. Usando o hoje conhecido “método da exaustão”, uma série de polígonos inscritos e polígonos circunscritos ao círculo, que o valor de pi estava entre 3,14084507 3,142857143.

No Papiro Rhind (Ahmes) é dada uma solução para se construir um quadrado de área próxima a de um círculo. Para tanto, o lado do quadrado deveria ser 8/9 do diâmetro do círculo. Esta aproximação corresponde a tomar 3,1605 como valor para pi, logo, não é uma construção geométrica precisa.

Contudo, por mais aproximações que se façam, não é possível quadrar exatamente o círculo (com régua e compasso). Em 1882, o matemático alemão Carl Louis Ferdinand von Lindemann provou que pi é um número transcendente, ou seja, não é raiz de qualquer equação algébrica com coeficientes inteiros. Assim, a transcendência de pi torna impossível de se resolver o problema da quadratura do círculo somente com uma régua e um compasso.

Duplicação do cubo

No século V a.C., uma epidemia de peste dizimou uma quarta parte da população de Atenas. Conta-se que os atenienses teriam enviado uma delegação ao oráculo de Apolo, na cidade de Delfos, para perguntar como poderiam combater o mal. Os integrantes da delegação teriam recebido como resposta que, para a peste acabar, o altar de Apolo deveria ser duplicado. Para cumprir a ordem, os habitantes de Atenas dobraram os lados do altar, mas a peste tornou-se muito mais violenta. Por dobrarem as arestas do cubo, o altar teve o seu volume multiplicado por oito e não por dois.

A duplicação do cubo consiste em construir, com régua e compasso, a aresta do cubo cujo volume é o dobro do cubo inicial. Alguns nomes se destacam na tentativa de solucionar o problema, entre eles Hipócrates de Chios e Arquitas de Tarento. Porém, todas as soluções eram teóricas.

No século XIX, foi estabelecida a impossibilidade da construção usando apenas régua e compasso.

Trissecção do ângulo

Esse problema consiste em dividir um ângulo em três partes iguais. Ou seja, a partir de um ângulo qualquer, construir um outro com o terço da sua amplitude. Diferente dos outros dois grandes problemas da matemática, não há referência de quando a trissecção do ângulo começou a ser estudada.

Algumas soluções foram produzidas, mas nenhuma delas usando a regra básica (usar régua e compasso).

Em 1837, Pierre Laurent Wantzel mostrou que é impossível resolver esse problema como ele foi proposto.

Fontes:

http://super.abril.com.br/superarquivo/1989/conteudo_111717.shtml

http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/quadr_circulo.html

http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/duplica-cubo.html

http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/trissec_angulo.html

http://www.fc.up.pt/mp/jcsantos/problemasclassicos.html

Continuando a desvendar as histórias por trás da matemática…

Pitágoras viveu no século VI a.C., nasceu por volta do ano de 580 a.C. na ilha de Samos, no meio do mar Egeu, mas passou parte da vida no sul da Itália, morrendo em Crotona. Ele e seus alunos fizeram muitas descobertas em Matemática, Filosofia e Astronomia. Sabiam que a Terra é redonda e se move ao redor do Sol. O nome matemática que significa “tudo que se aprende”, foi criado por Pitágoras e seus discípulos. “O número dirige o Universo”, diziam Pitágoras e seus seguidores, os pitagóricos.

O famoso teorema foi demonstrado pela primeira vez por Pitágoras.

A Escola Pitagórica se instalou em Crotona (bem embaixo na bota italiana). De Pitágoras, que foi aluno de Tales por alguns anos, a Arquitas de Tarento, ele próprio fiel amigo de Platão, a Escola Pitagórica durou perto de 150 anos e contou 218 pitagóricos. Nem todos matemáticos, entre eles: Hipócrates de Chios, Teodoro de Cirene, Filolaus, Arquitas de Tarento e Hipasus.

Com os pitagóricos o universo da matemática se ampliou. Eles introduziram a música e a mecânica. Sua visão mística dos números não os impediu de fundar a aritmética como a ciência dos números. É a eles que devemos as primeiras demonstrações verdadeiras da História. Além da demonstração da irracionalidade da raiz de 2, demonstraram por exemplo que todos os triângulos têm em comum o fato de  a soma de seus ângulos internos ser igual a 180 graus.

Na Escola Pitagórica existiam alguns tipos de pitagóricos:

• exotéricos: os que ficavam fora do espaço em que Pitágoras fivaca, só tinham acesso a seu ensinamento pela audição. Ouviam-no, mas não o viam;
• esotéricos: só eles podiam ouvir Pitágoras e vê-lo;
• acusmáticos: a quem eram transmitidos os resultados, mas não as demonstrações para chegar a eles;
• matemáticos: a quem se transmitia os resultados e as demonstrações.

Akousmata, eram palavras que eram transmitidas apenas oralmente e de que não havia vestígios escritos.

Hipasus

Hipasus (Hipaso de Metaponto), nasceu por volta de 500 a.C. na Magna Grécia e foi um filósofo grego. Diz-se que foi ele quem  primeiro divulgou a existência dos números irracionais. Tal ato o tornou odiado pelos outros pitagóricos que achavam que os números racionais podiam descrever toda a geometria do mundo. Como resultado, o expulsaram da comunidade e construíram um santuário para ele como se ele estivesse morto.

A causa da sua morte ainda é um mistério até hoje. Uma das versões é que ele morreu no mar, em um naufrágio. Mas, há relatos de que o próprio Pitágoras tenha o condenado à morte.

Ele também foi indicado como um experimentador no início de acústica e de ressonância. Alguns de seus trabalhos originais ainda sobrevivem. Hipasus é também o inventor da média harmônica.

Existem três tipos de médias:

Aritmética: “O excesso do primeiro número em relação ao segundo é idênico ao excesso do segundo em relação ao terceiro”

b é a média aritmética de a e c

Geométrica: “O primeiro está para o segundo assim como o segundo está para o terceiro”

b é a média geométrica de a e c

Harmônica; “O primeiro ultrapassa o segundo de uma fração de si próprio, enquanto o segundo ultrapassa o terceiro da mesma fração do terceiro”.

Exemplo: números 6, 4 e 3.

4 é a média harmônica de 6 e 3.

6 ultrapassa 4 de 2 unidades (6 = 4 + 2) que é um terço de 6 (2 = 1/3 de 6).

4 ultrapassa 3 de 1 unidade (4 = 3 + 1) que é um terço de 3 (1 = 1/3 de 3).

Hipócrates

Foi um dos mais eminentes geômetras. Inventor do raciocínio por absurdo (uma das armas mais temíveis da lógica). Hipócrates estabeleceu a quadratura das lúnulas (luas crescentes). Velho, foi expulso da Escola Pitagórica por receber dinheiro para revelar a geometria.

Arquitas de Tarento

Arquitas de Tarento é considerado o mais ilustre dos matemáticos pitagóricos. Inventor do número 1. Também foi o primeiro engenheiro, criando a arte mecânica. Não se contentando com desenhar máquinas no papiro, ele as construiu de verdade. Fabricou um pássaro mecânico, uma pomba de madeira que voava sozinha mas quando pousava, não podia levantar vôo mais. Arquitas também fazia política e ainda salvara Platão em certa ocasião.

Filolaus

Na cidade de Crotona, onde ficava a Escola Pitagórica, havia um morador rico e poderoso chamado Cílon que queria ser admitido de qualquer jeito entre os pitagóricos. Várias vezes seu pedido foi rejeitado. Violento e autoritário, Cílon não suportou que lhe recusassem o que ele desejava. Assim, resolveu se vingar.
Os membros da Escola se reuniam regularmente num casarão para deliberar sobre os assuntos da cidade. Cílon e seus partidários se aproximaram e puseram fogo nela. Todos os ocupantes morreram queimados, menos um.
O sobrevivente foi Filolaus. Ele se interessava por astronomia e cosmografia. Foi o primeiro pensador que ousara expulsar a Terra do centro do Universo, ele imaginava isso dois mil anos antes de Copérnico e Galileu.

Alexandria (Clique na imagem para ver o mapa ampliado)

A palavra museu significa “refúgio das musas”.

Na mitologia grega, as musas eram as divindades inspiradoras das artes e das ciências, sendo assim, este nome foi atribuído pelo governante egípcio, Ptolomeu, ao mais importante centro de ensino e pesquisa criado em Alexandria.

Mais de 500.000 manuscritos de caráter científico foram guardados na biblioteca do museu, fundado no início do século III a.C. Quase todos os grandes cientistas da época trabalhavam nessa instituição, entre eles Euclides. O museu funcionava como uma universidade moderna. Alexandria abrigou numerosos sábios, como Cláudio Ptolomeu, no século II e Diofanto no século III.

A maior biblioteca da antiguidade

A Biblioteca de Alexandria reunia obras de todo o mundo antigo. Todos os textos e documentos da época deveriam ter uma cópia ali. Calímaco, um de seus diretores, organizou um índice de todos os textos do acervo. Foram necessários mais de 100 papiros para catalogar tudo. Porém, nada sobrou da Biblioteca. Os papiros, os móveis, o prédio, tudo sumiu. Nenhum historiador pôde descobrir com certeza como. Alguns dizem que o fogo a destruiu em 48 a.C., durante uma revolta contra Júlio César, que estava em Alexandria. Outros afirmam que foi incendiada em 390 e há quem acredite que o califa Omar, em 641, mandou destruir o que restava dela.
Em seu livro “A Bilblioteca Desaparecida”, de 1988, o estudioso italiano Luciano Canfora nega todas essas versões. Para ele, a Biblioteca foi desmontada no século III, por ordem do imperador Aureliano.

Diofanto

Diofanto, grande matemático, viveu e trabalhou em Alexandria no século III a.C., apenas 6 livros de sua coleção Aritmética restaram.

O que aqui pretende-se destacar, é seu epitáfio:

Passante, neste túmulo repousa Diofanto.
Grande prodígio! A ciência dará a você a medida da sua vida. Escuta. Deus lhe concedeu ser jovem durante a sexta parte de sua vida. Um doze avos mais, e cresceu-lhe uma barba negra. Depois, passado um sétimo, foi o dia do seu casamento. E desse casamento nasceu-lhe um filho no quinto ano. Ah, ai de ti, pobre filhinho: ele conheceu o frio da morte depois de ter vivido apenas a metade da idade de seu pai. Mas, depois de quatro anos, este, encontrando por sua vez consolo para sua afeição, atingiu com essa sabedoria o termo da sua vida. Quanto sua vida durou?

*Resposta no final do post.

Euclides

Euclides era um dos que trabalhava na Biblioteca de Alexandria. Sua principal obra, Os Elementos, desde sua publicação em 300 a.C., teve uma repercussão tão grande que durante mais de vinte séculos os homens estudaram Geometria de acordo com os ensinamentos de Euclides. Na obra, Euclides realiza todas as construções utilizando apenas régua e compasso, além disso, a régua não tem qualquer marcação.
Elementos é constituído de treze livros ou capítulos, sendo os seis primeiros sobre geometria, os três seguintes sobre os diferentes tipos de números, o livro X sobre segmentos incomensuráveis e os três últimos sobre geometria no espaço. Os livros II e V são dedicados ao estudo da Álgebra.I à IV – Geometria;

• V – Livro das Proporções;
• VI – Livro da Semelhança;
• VII à IX – livros de Aritmética;
• X – Livro dos Irracionais;
• XI e XII – Geometria no espaço;
• XIII – Coroamento da obra inteira.

O autor numerou-os de I a XIII para afirmar que formam um todo e que esse todo se desenvolve seguindo uma ordem precisa. Ordem interna em cada volume e ordem entre os volumes.

Hipatia – única matemática da Antiguidade

No fim do século IV, vivia em Alexandria uma família de matemáticos famosos, Téon, e seus filhos, Hipatia e Epifânio. É nas obras de Téon que se encontra o famoso método de cálculo das raízes quadradas. A filha dele, Hipatia, realizou trabalhos brilhantes a partir das descobertas de Apolônio, e trabalhou igualmente sobre Diofanto e Ptolomeu. Epifânio também trabalhou sobre a astronomia de Ptolomeu. Dizem que era menos talentoso que a irmã. Reatando com os grandes antigos, Hipatia era tão boa fiósofa quanto matemática, a ponto de ensinar as duas disciplinas. Centenas de ouvintes assistiam às suas aulas, subjugados por sua inteligência, seu saber e sua beleza. Tudo isso, atributos insuportáveis para os partidários da nova ordem moral que se abatia sobre Alexandria. Certo dia do ano de 415, o populacho, longamente trabalhado pelos homens do patriarca de Alexandria, precipitou-se sobre sua charrete, jogou-a no chão, tirou-lhe a roupa e arrastou-a para um santuário. Ela foi torturada com cascas de ostra afiadas como lâminas, antes de ser queimada viva.

Cônicas

O encontro do cone de luz proveniente da cúpula de um abajur com o plano da parede, formam-se: circuferência, elipse, parábole e hipérbole.
Menaecmus, matemático grego, descobriu o fenômeno em século IV a.C. Ele descobriu que essas figuras tão diferentes podiam ser criadas à partir de um mesmo acontecimento: o encontro de um cone com um plano, e que era possível passar de uma a outra sem transição, pela simples inclinação contínua do eixo do cone.
Dois séculos depois de Menaecmus, Apolônio apoderou-se do tema para dele fazer um dos campos mais pontudos da geometria. Ele é o inventor dos nomes das cônicas:

• Hipérbole – que vem de excesso, hiper: “algo mais”;
• Elipse – que vem de falta: “algo menos”;
• Parábola – para: o mesmo, “exatamente o necessário”.

Incontestavelmente, o homem das cônicas é Apolônio, a quem foi dado o título de Grande Geômetra. Ele viveu em Alexandria na segunda metade do século III a.C. Provavelmente residente do museu de Alexandria, freqüentou a grande Biblioteca dirigida na época por Eratóstenes.

Eratóstenes

No mesmo período em que viveu Arquimedes, outro matemático grego também se destacou: Eratóstenes (276-196 a.C.). Natural de Cirene, Eratóstenes viveu parte da juventude em Atenas. Foi um atleta bastante popular, destacando-se em várias modalidades esportivas. Apesar de seus múltiplos interesses, ele não conseguiu ser pioneiro em nenhuma das atividades que desenvolveu, nas Ciências ou nas Letras. Por esse motivo, os gregos o chamavam de Beta (), que é a segunda letra do alfabeto grego, deixando claro que o reconheciam como segundo em tudo, mas nunca o melhor em nada. Mas nenhum matemático ou astrônomo se igualou a ele nos cálculos para medir a circuferência da Terra utilizando apenas uma vareta.

*Duração da vida chamemo-la de V:

Resposta: 84

A seguir, um pouco da história de como surgiram os números egípcios, romanos e árabes.

Egípcios

Há mais ou menos 3600 anos, o famoso faraó do Egito tinha um súdito chamado Aahmesu, cujo nome significa “Filho da Lua”.

Aahmesu ocupava na sociedade egípcia uma posição muito mais humilde que a do faraó: provavelmente era um escriba. Hoje, ele é mais conhecido do que muitos faraós e reis do Antigo Egito. Aahmesu, chamado de Ahmes, foi o primeiro escriba que a história registrou. Ahmes é o autor do papiro que leva o seu nome, o Papiro Ahmes.

Este documento foi escrito por volta d e1650 a.C. e tem aproximadamente 5,5 m de comprimento e 32 cm de largura, sendo composto de catorze folhas de papiro. O magnífico fac-símile do rolo descoberto no século XIX no templo mortuário de Ramsés II, em Tebas, foi comprado em 1858 por um antiquário escocês chamado Rhind. Por isso é conhecido também como Papiro Rhind.

O Papiro Ahmes é um antigo manual de matemática, expõe dezenas de problemas de todo tipo. Contém 80 problemas, todos resolvidos. A maioria envolve assuntos do dia-a-dia, como o preço do pão, a armazenagem de grãos de trigo, a alimentação do gado. É o mais antigo tratado de matemática já encontrado até hoje.

Observando e estudando como eram efetuados os cálculos no Papiro Ahmes, não foi difícil aos cientistas compreender o sistema de numeração egípcio.

O Sistema de numeração egípcio baseava-se em sete números-chave: 1, 10, 100, 1.000, 10.000, 100.000 e 1.000.000. E os egípcios usavam símbolos para representá-los.

Um traço vertical: 1
Um osso de calcanhar: 10
Um laço: 100
Uma flor de lótus: 1.000
Um dedo dobrado: 10.000
Um girino: 100.000
Uma figura ajoelhada: 1.000.000

Com a ajuda deste sistema de numeração, os egípcios conseguiam efetuar todos os cálculos que envolviam números inteiros. Descobriram também as frações, mas utilizava apenas frações unitárias, com numerador igual a 1. Para escrever as frações unitárias, colocavam um sinal oval alongado sobre o denominador.

Por volta do século III a.C., começou a formação do sistema de numeração romano.

Romanos:

Os romanos não inventaram símbolos novos para representar os números; usavam as próprias letras do alfabeto.

I: 1
V: 5
X: 10
L: 50
C: 100
D: 500
M: 1.000
MM: 2.000
MMM: 3.000…

Para escrever 4.000 ou números maiores que ele, os romanos usavam um traço horizontal sobre as letras que representavam esses números. Um traço multiplicava o número representado abaixo dele por 1.000. Dois traços sobre o M davam-lhe o valor de 1 milhão.

O Sistema de numeração romano foi adotado por muitos povos, mas como podemos ver, era difícil efetuar cálculos com este sistema.

Árabes:

Harum al-Raschid foi o califa de Bagda do ano 786 até 809 a.C. Durante seu reinado, os povos árabes travaram uma série de guerras de conquista e como prêmios de guerra, livros de diversos centros científicos foram levados para Bagdá e traduzidos para a língua árabe.
Em 809, o califa de Bagdá passou a ser al-Mamum, filho de Harum al-Raschid. Este, como era um apaixonado da ciência, procurou tornar Bagdá o maior centro científico do mundo, contratando os grandes sábios muçulmanos da época, entre eles o mais brilhante matemático árabe de todos os tempos: al-Khuwarizmi.
Estudando os livros de matemática vindos da Índia e traduzidos para a língua árabe, al-Khuwarizmi surpreendeu-se com aqueles estranhos símbolos e da surpresa para a admiração, ele compreendeu o tesouro que os matemáticos hindus haviam descoberto.
Al-Khuwarizmi decidiu contar ao mundo as boas novas e escreveu um livro chamado “Sobre a arte hindu de calcular” que foi preservado numa tradução latina Algoritmi de numero Indorum. Com este livro, matemáticos do mundo todo tomaram conhecimento do sistema de numeração hindu. Os símbolos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ficaram como a notação de al-Khuwarizmi, de onde se originou o termo latino algorismos. Daí o nome algarismo.
São estes números criados pelos matemáticos da Índia e divulgados para outros povos por al-Khuwarizmi que constituem o nosso sistema de numeração decimal. Daí serem conhecidos como algarismos indo-arábicos.
Mas, o livro mais famoso de al-Khuwarizmi chama-se Kitab Al Mukhtassar Fi Hissab Al Jabr Wal Mukabala (O livro sumário sobre cálculos por transposição e redução), livro sobre as operações al-jabr (restauração) e qabalah (redução ou equilíbrio).
A palavra al-jabr que deu origem ao nome álgebra significa restauração, e refere-se à passagem de um termo para o outro lado da equação. Al-Khuwarizmi é considerado o “pai” da Álgebra.

Bom… antes que você ache tudo isso um absurdo e que bolas quadradas só existem nos episódios do Chaves, adianto que você está enganado. As bolas quadradas existem e estão por toda parte.

Antes de mais nada, vamos definir algumas coisas que serão importantes para o entendimento do que são essas bolas.

Em matemática, definimos a distância , de dois pontos e , tal que satisfaça as condições abaixo:

• > 0
• = 0 , se e somente se =
• =
• +

Então definimos uma bola de centro b e raio r, como sendo o

conjunto dos pontos  =<.

Desta forma, vejamos alguns exemplos para que as ideias fiquem mais claras:

Sejam = e =

• Defina =

Então neste caso, teremos a bola de centro em 0 e raio 1, sendo

= = <1

Elevando ao quadrado,

<1, que é a equação da esfera de centro 0 e raio 1.

Vejamos o desenho,

E essa é a bola que todos estamos acostumandos a ver, mas existe uma outra maneira de definir a distância, vejamos:

• Defina = 

Então neste caso, teremos a bola de centro em 0 e raio 1, sendo

= 

Então,

<1

Que é uma equação modular de planos que passam pela origem. Como podemos ver abaixo:

Como vimos, as bolas quadradas existem, e ainda podemos definir outras métricas para formar outras bolas. Para quem se interessa mais pelo assunto seria interessante estudar mais sobre os espaços métricos e suas propriedades.

Estou começando uma série de artigos que pretendo publicar (quinzenalmente) sobre a história da Matemática.

Em negrito: os principais matemáticos citados no post.

Gostaria de começar falando de Abu Jafar Muhammad Ibn Muhammad Ibn al-Hasan Nasir al-Din al-Tusi…

Calma, chamemos Abu Jafar Muhammad Ibn Muhammad Ibn al-Hasan Nasir al-Din al-Tusi simplesmente de Nasir al-Din al-Tusi, ou até mesmo de al-Tusi.

O cidadão em questão nasceu 18 de fevereiro de 1201, na cidade de Tus, um vilarejo no nordeste do Irã. Por isso foi chamado al-Tusi: de Tus. Seu pai era um sábio conhecido e mandou o filho estudar em Nishapur, na mesma madrasa de Omar Khayyam, cujas obras estudou.
Madrasa: “palavra árabe para qualquer tipo de instituição educacional, seja secular ou religiosa”.

Pequeno intervalo:

Nishapur (Neyshabur) está localizado ao oeste de Mashhad, na província de Khorasan. Esta antiga cidade foi o lar do grande poeta e matemático Omar Khayyam e do grande poeta místico Attar-e Neyshaburi.

Omar Khayyam está na origem da noção de polinômio. No começo, a álgebra consistia no estudo das equações, e Khayyam ampliou seu campo ao estudo dos polinômios. Ele estabeleceu uma classificação completa das equações de primeiro, segundo e terceiro graus. Enquanto Al-Khuwwarizmi (sua história será contada em outro post) havia tratado as do segundo grau, ele especializou-se nas do terceiro grau, que classificou em vinte e cinco tipos diferentes, conforme o número de termos que continham. Resolveu-as utilizando procedimentos geométricos. Sharaf al-Din al-Tusi foi o continuador das obras de Omar Khayyam.

Voltando a Nasir al-Din al-Tusi:

Em Nishapur, al-Tusi estudou filosofia, medicina e matemática. Em relação a última, ele foi ensinado por Kamal al-Din ibn Yunus que tinha sido aluno de Sharaf al-Din al-Tusi (o continuador das obras de Omas Khayyam).

A Trigometria, que vem do grego tri (três), gono (ângulo) e metrien (medida), antes de Nasir al-Din al-Tusi, não passava de uma ferramenta da astronomia. Ele deu a ela seus títulos de nobreza, fazendo da Trigonometria uma disciplina matemática autônoma. Assim, al-Tusi é considerado o verdadeiro fundador da Trigonometria.

Mas, todo fundador tem seus predecessores. Primeiro os geógrafos-astrônomos gregos de Alexandria, Hiparco do século II a.C. e Cláudio Ptolomeu, no século II d.C. E mais dois matemáticos, também de Alexandria, Teodósio, no século II a.C. e Menelau, no século II d.C.

Um século depois de Euclides e sua geometria do plano, Teodósio, depois Menelau, nas “Esféricas”, lançaram a geometria da esfera. Menelau mostrou um grande número de propriedades das figuras geométricas construídas com base na esfera. Do círculo, a Trigonometria passou ao triângulo, estabelecendo relações entre os ângulos e os lados. É consenso considerar Hiparco o ancestral da Trigonometria. Após os astrônomos de Babilônia, ele introduziu a divisão do círculo em 360°.

Tabelas

Uma das tarefas da astronomia foi o estabelecimento das tabelas e graças a um imenso trabalho de observação dos astros, Hiparco estabeleceu as primeiras “tabelas de cordas”, que foram por um bom tempo uma das mais preciosas ferramentas da astronômia.

Entendam corda neste contexto como o segmento de reta que une dois pontos situados sobre um círculo.

Graças às suas tabelas, descobriu-se que o eixo da Terra não era fixo. As primeiras tabelas, as de Hiparco, se perderam. Quanto às de Ptolomeu, estabeleciam as correspondências entre os comprimentos das cordas e os diferentes valores de arcos.

A obra Almagesto de Ptolomeu, contém uma tabela de cordas correspondentes a diversos ângulos, por ordem crescente e em função da metade do ângulo, que é equivalente a uma tabela de senos. No Almagesto, Ptolomeu compilou os conhecimentos existentes na época sobre Astronomia e Trigonometria.

Ao lado, trecho da obra que ilustra o modelo cinemático de Ptolomeu para descrever o movimento de Marte, Júpiter e Saturno.

As tabelas de cordas são os primeiros exemplos de funções da história da Matemática. Foi nessa época que os gregos se habituaram a dividir o círculo em 360 graus.

Mais tarde os indianos substituíram as tabelas de cordas por tabelas de senos, mais fáceis de manejar.

A precisão de todo cálculo astronômico repousa na exatidão da tabela de senos, cuja construção está ligada ao problema da trisseção do ângulo. Al-Khuwarizmi foi o primeiro a estabelecer tabelas de senos. Logo depois, Habash al – Hasib (Al–Hasib quer dizer “o calculador”) inventou a tangente que é a ferramenta ideal para medir a altura de um objeto.

Seno

No Siddhanta (Sistemas de astronomia) escrito em sânscrito (língua muito antiga e difícil) os hindus apresentavam uma trigonometria baseada na relação entre metade da corda (distância entre 2 pontos quaisquer A e B, na circuferência) e a metade do ângulo central. A meia-corda era chamada pelos hindus de jiva.

Os árabes haviam traduzido textos de trigonometria do sânscrito. Nesse processo, quando se depararam com a palavra jiva – meia-corda – eles simplesmente escreveram jiba. Na língua árabe é comum escrever apenas as consoantes de uma palavra, deixando que o leitor acrescente mentalmente as vogais. Assim, os tradutores árabes registraram: Jb.

Na sua tradução do árabe para o latim, Robert de Chester (brilhante matemático inglês) interpetrou Jb como sendo consoantes da palavra jaib que em latim significa baía ou enseada e escreve-se: sinus.

A partir daí, a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa de um triângulo retângulo passou a ser chamada de sinus (em português, seno). Com o tempo, outras razões trigonométricas foram sendo criadas: o cosseno, a tangente, etc.

Próximo post desta série: “Algarismos: egípcios, romanos e árabes”.

Todos que já tiveram a disciplina de Cálculo 1 ou Cálculo Diferencial e Integral se depararam com indeterminações. Indeterminações são resultados não aceitáveis quando estamos calculando limites, por exemplo:

.

Para problemas como esse podemos usar a Regra de L’Hôpital que diz o seguinte:

Se

se existir

então:

(Fonte: pt.wikipedia.org)

A controvérsia que existe é em relação ao nome do criador da regra. Quando tive Cálculo no meu curso, meu professor apresentou a dita cuja como “Regra de L’Hôpital”. Até surgiram piadinhas a respeito do nome, várias derivações surgiram como: Regra de L’Hospital, Regra de L’Hospitius, etc.

Recentemente folheando um livro de Cálculo da biblioteca (não me perguntem o motivo) notei que no índice constava: Regra de L’Hospital. Pensei: “Como um autor renomado pode fazer uma coisa dessa?”. Não satisfeita, cheguei em casa e olhei no meu livro de Cálculo (de outro autor) e também constava Regra de L’Hospital. Algo estava errado…Como pude ser enganada por tanto tempo (um ano aproximadamente)?

Decidi começar uma busca para descobrir qual era o verdadeiro sobrenome de Guillaume François Antoine de L’Hôpital. Quem??? Isso mesmo, esse é o nome do Marquês de Sainte-Mesme.

Sainte-Mesme é uma comuna francesa (unidade básica de de organização territorial da França), situada no departamento de Yvelines (departamento da França cuja capital é a cidade de Versailles) na região de Île-de-France (Ilha-de-França: uma das 26 regiões administrativas da França). O Marquês de Sainte-Mesme era um matemático e nobre francês que viveu em Paris de 1661 a 1704.  A regra que leva seu nome foi publicada em seu primeiro livro texto Analyse des Infiniment Petits. L’Hôpital serviu como oficial de cavalaria, mas por problemas de saúde teve que sair, passando a dedicar seu tempo a matemática. Foi aluno de Bernoulli (há quem diga que na verdade a Regra de L’Hôpital foi criada por Bernoulli) e aos 15 anos resolveu o difícil problema sobre ciclóides, proposto por Pascal. Analyse des infiniment petits vertem l’intelligence des lignes courbes consolidou sua fama já que foi o primeiro manual publicado de Cálculo Diferencial.

Mas o motivo desse post é descobrir se aprendemos a regra de L’Hopital, L’Hospital ou a regra de L’Hôpital. Comecei a busca pesquisando o nome no Google Brasil, como era de se esperar, nos resultados apareceram ambas as formas (não apenas na Wikipedia, mas em sites confiáveis de universidades). Como estamos falando de um matemático francês, resolvi pesquisar no Google France e infelizmente obtive o mesmo tipo de resultados.

Veio então a idéia de procurar os textos escritos pelo matemático. Aqui encontramos Analyse des infiniment petits vertem l’intelligence des lignes courbes e aqui Calculi infinitesimalis pars I, seu Calculus Differentialis. Obsevem como o nome do matemático aparece na capa:

Matamos a charada? Não.

A ortografia francesa tem variado ao longo dos séculos. Entre os séculos XVIII e XIX ocorreram várias reformas ortográficas. Em 1990 foi publicado o Rapport de 1990 sur les rectifications orthographiques (Relatório de 1990 sobre as Retificações Ortográficas), cujas modificações giram em torno do uso do hífen, do plural das palavras compostas, do acento circunflexo, do particípio passado e de diversas anomalias. Neste site (em francês, claro) você encontra as correções da ortografia. Vale ressaltar que celles-ci sont officiellement recommandées, sans toutefois être imposées (elas são oficialmente recomendadas, mas não impostas).

Voltando ao nosso problema, com as constantes reformas ortográficas a grafia correta passou a ser L’Hôpital. Segundo a Wikipedia, “l’Hôpital is commonly spelled as both “l’Hospital” and “l’Hôpital.” The Marquis spelled his name with an ‘s’; however, the French language has since dropped the ‘s’ (it was silent anyway) and added a circumflex to the preceding vowel“. (Fonte: en.wikipedia.org)

A que conclusão chegamos? De que tanto faz a forma que você escreve o nome do Marquês de Sainte-Mesme, porque as regras ortográficas são recomendadas e não obrigatórias.

Mas sinceramente, eu não gostaria de ter meu nome alterado por alguma regra, então, vou continuar usando a Regra de L’Hospital .

É bem verdade que muitos estudantes depois de passarem no vestibular, acham que a universidade é a mesma coisa que o ensino médio. Para quem fez ou faz um curso superior sabe que isso não é verdade, estudar um dia antes não garante mais notas altas. Mas será essa a explicação para a alta taxa de reprovação, por exemplo,  em cálculo 1?

O vídeo abaixo mostra o sofrimento de nosso amigo Hitler, veja abaixo:

Brincadeiras à parte, o que explica essa imensa dificuldade enfrentada pelos alunos é a falta de ritmo de estudo dos calouros bem diferente do que é encarado na universidade, e é claro que a dificuldade de nível de dificuldade da disciplina, não que cálculo seja algo impossível de se aprender ou só para gênios, na verdade é preciso romper uma espécie de “barreira do som” cognitiva.

Uma grande dica para os futuros calouros e para aqueles que não se deram tão bem assim no início do curso é ler a provável matéria antes e depois de cada aula, assim você garantirá muita coisa no curso.

Lembre-se! Não tente inventar a teoria de cálculo na hora da prova, Leibniz e Newton já inventaram pra você, apenas use.